निर्देशांकों से क्षेत्रफल (जूते के फ़ीते का सूत्र)
भुजाओं की लंबाई निकालने के बजाय आप निर्देशांकों को आड़े-तिरछे गुणा करके जोड़ते हैं — इसीलिए “जूते का फ़ीता”। निरपेक्ष मान लेने से बिंदुओं का क्रम मायने नहीं रखता।
आपके अंक
क्षेत्रफल
19.5
परिमाप
20.4067
अंतःवृत्त त्रिज्या
1.9111
सूत्र
क्षेत्रफल = |x₁ × (y₂ − y₃) + x₂ × (y₃ − y₁) + x₃ × (y₁ − y₂)| ÷ 2
एक रेखा पर पड़े बिंदुओं का क्षेत्रफल शून्य आता है, जिससे यह जाँचने का जल्दी तरीक़ा बन जाता है कि तीन बिंदु सचमुच त्रिभुज बनाते हैं या नहीं।
क्या लिखना है
| इनपुट | डिफ़ॉल्ट | स्वीकार्य दायरा |
|---|---|---|
| x₁पहले बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक। | 1 | कोई सीमा नहीं |
| y₁पहले बिंदु का ऊर्ध्व निर्देशांक। | 1 | कोई सीमा नहीं |
| x₂दूसरे बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक। | 7 | कोई सीमा नहीं |
| y₂दूसरे बिंदु का ऊर्ध्व निर्देशांक। | 2 | कोई सीमा नहीं |
| x₃तीसरे बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक। | 4 | कोई सीमा नहीं |
| y₃तीसरे बिंदु का ऊर्ध्व निर्देशांक। | 8 | कोई सीमा नहीं |
चरण दर चरण
मान के हिसाब से परिणाम
बाक़ी सब वैसा ही रखकर सिर्फ़ x₂ बदलने पर के परिणाम।
| x₂ | क्षेत्रफल | परिमाप | अंतःवृत्त त्रिज्या |
|---|---|---|---|
| 3.5 | 7.25 | 16.3292 | 0.888 |
| 5.25 | 13.375 | 18.1107 | 1.477 |
| 7 | 19.5 | 20.4067 | 1.9111 |
| 10.5 | 31.75 | 26.0142 | 2.441 |
| 14 | 44 | 32.3161 | 2.7231 |
हर परिणाम का मतलब
| परिणाम | डिफ़ॉल्ट मान पर |
|---|---|
| क्षेत्रफलकोई आकृति जितनी जगह ढकती है — लंबाई का वर्ग। | 19.5 |
| परिमापआकृति के बाहर चारों ओर की कुल लंबाई। | 20.4067 |
| अंतःवृत्त त्रिज्याभीतर से सभी भुजाओं को छूने वाले वृत्त की त्रिज्या। | 1.9111 |
आम ग़लतियाँ
एक रेखा पर पड़े बिंदुओं का क्षेत्रफल शून्य आता है, जिससे यह जाँचने का जल्दी तरीक़ा बन जाता है कि तीन बिंदु सचमुच त्रिभुज बनाते हैं या नहीं।
शब्दावली
- x₁
- पहले बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक।
- y₁
- पहले बिंदु का ऊर्ध्व निर्देशांक।
- x₂
- दूसरे बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक।
- y₂
- दूसरे बिंदु का ऊर्ध्व निर्देशांक।
- x₃
- तीसरे बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक।
- y₃
- तीसरे बिंदु का ऊर्ध्व निर्देशांक।
- क्षेत्रफल
- कोई आकृति जितनी जगह ढकती है — लंबाई का वर्ग।
- परिमाप
- आकृति के बाहर चारों ओर की कुल लंबाई।
- अंतःवृत्त त्रिज्या
- भीतर से सभी भुजाओं को छूने वाले वृत्त की त्रिज्या।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
Q. निर्देशांकों से क्षेत्रफल (जूते के फ़ीते का सूत्र) कैसे निकाला जाता है?
क्षेत्रफल = |x₁ × (y₂ − y₃) + x₂ × (y₃ − y₁) + x₃ × (y₁ − y₂)| ÷ 2 — भुजाओं की लंबाई निकालने के बजाय आप निर्देशांकों को आड़े-तिरछे गुणा करके जोड़ते हैं — इसीलिए “जूते का फ़ीता”। निरपेक्ष मान लेने से बिंदुओं का क्रम मायने नहीं रखता।
Q. एक उदाहरण से समझाइए।
x₁ 1, y₁ 1, x₂ 7, y₂ 2, x₃ 4, y₃ 8 पर उत्तर क्षेत्रफल 19.5 है।
Q. क्या-क्या लिखना है?
x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃ लिखें। लिखते ही गणना दोबारा हो जाती है, और ख़ाली खाना शून्य माना जाता है।
Q. कोई अंक बदलूँ तो परिणाम कितना हिलता है?
सिर्फ़ x₂ बदलने पर परिणाम x₂ 3.5 → क्षेत्रफल 7.25 और x₂ 14 → क्षेत्रफल 44 हो जाता है। नीचे की सारणी में पाँच चरण दिए हैं।
Q. अंक कहाँ तक गोल किए जाते हैं?
रक़म पूरी इकाई तक, प्रतिशत एक दशमलव तक और बाक़ी दो दशमलव तक दिखाए जाते हैं। दिखने वाला अंक गोल किया हुआ है; गणना बिना गोल किए मान से आगे बढ़ती है।
Q. किस बात का ध्यान रखें?
एक रेखा पर पड़े बिंदुओं का क्षेत्रफल शून्य आता है, जिससे यह जाँचने का जल्दी तरीक़ा बन जाता है कि तीन बिंदु सचमुच त्रिभुज बनाते हैं या नहीं।
साथ काम आने वाले कैलकुलेटर
सभी खानों में लंबाई की इकाई एक जैसी रखें — सेंटीमीटर और मीटर मिला देने पर नतीजा बहुत दूर चला जाता है।